費氏數列的特性

昨天看《數學高手特訓班》時，裡面提到證明費氏數列的特性：F(5n)會是F(5)的倍數，我花幾分鐘證出後，回頭看書，作者描述的對象(國中生)在幾分鐘後，回答的是：

F(kn)會是F(n)的倍數

這就是數學強者和弱者的等級差異啊。

ps：列出前20項F(n)給大家參考

F(1)：1
F(2)：1
F(3)：2
F(4)：3
F(5)：5
F(6)：8
F(7)：13
F(8)：21
F(9)：34
F(10)：55
F(11)：89
F(12)：144
F(13)：233
F(14)：377
F(15)：610
F(16)：987
F(17)：1597
F(18)：2584
F(19)：4181
F(20)：6765

ps 2：我對F(5n)會是F(5)的倍數的的冗長證明

key point：把F(n)表示成 5a + 3b，僅需討論 3b 的變化，b介於 0 ~ 4 之間。下面列出 b 的變化，證明每20項發生循環。

F(6) ~ F(10)：(1, 1, 2, 3, 0)
F(11) ~ F(15)：(3, 3, 1, 4, 0)
F(16) ~ F(20)：(4, 4, 3, 2, 0)
F(21) ~ f(25)：(2, 2, 4, 1, 0)