2007年3月25日 星期日

費氏數列的特性

昨天看《數學高手特訓班》時,裡面提到證明費氏數列的特性:F(5n)會是F(5)的倍數,我花幾分鐘證出後,回頭看書,作者描述的對象(國中生)在幾分鐘後,回答的是:

F(kn)會是F(n)的倍數

這就是數學強者和弱者的等級差異啊。

ps:列出前20項F(n)給大家參考

F(1):1
F(2):1
F(3):2
F(4):3
F(5):5
F(6):8
F(7):13
F(8):21
F(9):34
F(10):55
F(11):89
F(12):144
F(13):233
F(14):377
F(15):610
F(16):987
F(17):1597
F(18):2584
F(19):4181
F(20):6765

ps 2:我對F(5n)會是F(5)的倍數的的冗長證明

key point:把F(n)表示成 5a + 3b,僅需討論 3b 的變化,b介於 0 ~ 4 之間。下面列出 b 的變化,證明每20項發生循環。

F(6) ~ F(10):(1, 1, 2, 3, 0)
F(11) ~ F(15):(3, 3, 1, 4, 0)
F(16) ~ F(20):(4, 4, 3, 2, 0)
F(21) ~ f(25):(2, 2, 4, 1, 0)

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